부분공간
벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 \(V\)에서 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 만족해서 백터공간이 될 때, \(W\)를 \(V\)의 부분공간(subspace)라고 한다.
벡터공간임을 증명하기 위해서는 10가지의 공리를 만족함을 증명해야 하지만, 부분집합은 대부분의 공리가 상속되므로 아래 4가지의 공리만 만족함을 증명하면 된다.
- 덧셈에 대한 \(W\) 닫힘성 - 공리 1
- \(W\)내의 영백터의 존재 - 공리 4
- \(W\)내의 각 벡터에 대한 음이 \(W\) 내에 존재 - 공리 5
- 스칼라 곱셈에 대한 \(W\) 닫힘성 - 공리 6
하지만 공리 1과 6이 증명되면 공리 4와 5가 증명되므로 실제로는 공리 1과 6만 증명하면 된다. 벡터공간 \(V\)의 부분집합 \(W\)가 \(V\)의 부분공간이 되기 위한 조건을 정리하면 다음과 같다.
- \(u\)와 \(v\)가 \(W\)의 벡터이면 \(u+v\)도 \(W\)의 벡터이다.
- \(k\)가 임의의 스칼리이고 \(u\)가 \(W\)의 벡터이면 \(ku\)도 \(W\)의 벡터이다.
해공간
\(n\)개의 변수를 가진 동차 연립방정식 \(Ax = 0\)의 해집합은 \(R^n\)의 부분공간이다. 이를 해공간이라고 부른다.