생성집합
\(V\)의 벡터 \(w\)를 \(w = k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_n v_n\)으로 표현할 때, \(w\)를 \(V\) 내 벡터 \(v_1, v_2, \cdots v_n\)의 선형 결합 또는 일차 결합이라고 한다.
이때 \(S={w_1, w_2, \cdots w_n}이 벡터 공간\)V$$내 공집합이 아닌 벡터집합이면 다음 조건이 성립한다.
- \(S\)내의 벡터들의 가능한 모든 선형결합의 집합 \(W\)는 \(V\)의 부분공간이다.
- 집합 \(W\)는 \(S\) 내의 모든 벡터를 포함하는 \(V\)의 가장 작은 부분공간이다.
1번 증명
\(W\) 내 두 벡터를 \(u = k_1 w_1 + k_2 w_2 + \cdots + k_n w_n\), \(v = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \cdots + c_n w_n\)이라고 할때, 두 벡터의 합은
\((u + v) = (k_1 + c_1) w_1 + (k_2 + c_2) w_2 + \cdots + (k_n + c_n) w_n\)으로 표현된다.
따라서 \(W\)는 덧샘애 대해 닫혀있음을 알 수 있다. 마찬가지로 곱셈에 대해서도 닫혀있으므로 \(W\)는 \(V\)의 부분공간이다.
부분공간 \(W\)는 \(S\)에 의해 생성된 \(V\)의 부분공간이라고 불리고, \(W = \textrm{span}\left\{ w_1, w_2, \cdots w_n \right\}\) 또는 \(W = \textrm{span} \left\{ S \right\}\)라고 표현된다.