[선형대수] 실벡터 공간

벡터공간의 공리

1. \(u, v\)가 \(V\)의 개체이면 \(u + v\)도 \(V\)에 속한다.
2. \[u + v = v + u\]
3. \[(u + v) + w = u + (v + w)\]
4. \(V\)의 모든 \(u\)에 대해서 \(u + 0 = 0 + u = u\)를 만족하는 개체 0이 \(V\)에 존재할 떄, 이를 \(V\)의 영벡터라고 부른다
5. \(V\)의 모든 \(u\)에 대해서 \(u + (-u) = (-u) + u = 0\)를 만족하는 개체 \(-u\)이 \(V\)에 존재할 떄, 이를 \(u\)의 음라고 부른다
6. \(k\)가 임의의 스칼라이고 \(u\)가 \(V\)의 개체이면 \(ku\)는 \(V\)에 속한다.
7. \[k(u + v) = ku + kv\]
8. \[(k + m)u = ku + mu\]
9. \[k(mu) = (km)(u)\]
10. \[1u = u\]

두 연산을 가진 집합이 벡터공간임을 보이기

1. 벡터가 될 개체들의 집합 \(V\)를 식별.
2. \(V\)상의 덧셈과 스칼라 곱셈 연산 반복
3. 공리 1과 6 검증. 이떄 공리 1을 덧셈에 대한 닫힘성(closure under addition), 공리 6을 스칼라 곱셈에 대한 닫힘성(closure under scalar multiplication)이라고 한다.
4. 공리 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 성립 확인.

벡터 성질

\(V\)는 벡터공간, \(u\)는 \(V\)의 벡터, \(k\)는 스칼라.

1. \[0u = 0\]
2. \[k0 = 0\]
3. \[(-1)u = -u\]
4. \(ku = 0\)이면, \(k = 0\) 또는 \(u = 0\)이다.