직교 벡터
\(\theta = cos^{-1}(\frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert})\) 에서 \(\theta = \frac{\pi}{2}\) (직각) 이기 위한 필요충분조건은 \(u \cdot v = 0\) 이다. 따라서 두 0이 아닌 \(n\)차원 벡터 \(u, v\)에 대해 \(u \cdot v = 0\) 이면 \(u, v\)는 직교(orthogonal)한다라고 표현한다. 이때 모든 영백터는 \(R^{n}\) 의 모든 벡터와 직교한다.
법선 벡터
어떠한 직선, 평면의 기울기나 경사각을 표현할 때 사용하는 수직인 벡터를 법선벡터(normal vactor)라고 한다. 직선/평면상 점 \(P(x, y)\)와 임의의 점 \(P(x_{0}, y_{0})\)를 지나며 법선백터 \(n(a, b)\)에 수직인 직선은 \(n \cdot \vec{P_{0}P} = a(x - x_{0}) + b(y - y_{0}) = 0\)로 표현이 가능하다. 이 방정식을 점-법선 방정식으로 부른다.
정사영
특정 벡터 \(u\)와 0이 아닌 벡터 \(a\)를 이용해서 \(w_1, w_2\)로 분해하여 표현이 가능하다.
이때 \(w_1\)은 \(a\)의 스칼라배이고, \(w_2\)는 \(a\)에 직교하는 벡터이다.
이러한 정리를 사영정리라고 한다.
\(w_1\)은 \(u\)의 \(a\)로의 정사영, 직교사영, \(a\) 방향의 \(u\)의 벡터성분 이라고 한다.
\(w_2\)는 \(a\) 직교하는 \(u\)의 벡터성분이라고 한다. \(w_1. w_2\)는 다음과 같이 표현이 가능하다.
\(a\) 방향의 \(u\) 벡터성분
\[\text{proj}_{a}u = \frac{u \cdot a}{\lVert a \rVert ^ {2}} a\]\(a\)에 직교하는 \(u\) 벡터성분
\[u - \text{proj}_{a}u = u - \frac{u \cdot a}{\lVert a \rVert ^ {2}} a\]