벡터의 놈
\(R^{n}\) 벡터의 놈은 \(\lVert v \rVert = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2} + \cdots + v_n^{2}}\) 이다.
벡터의 놈은 항상 다음 세가지를 만족한다.
- \(\lVert v \rVert \geq 0\) ㅤ
- \(\lVert v \rVert = 0\) 인 필요충분조건은 \(v = 0\) ㅤ
- \[\lVert kv \rVert = \left | k \right | \lVert v \rVert\]
단위벡터
단위벡터는 길이가 1인 벡터를 뜻한다. 벡터의 길이의 역수를 곱해서 구하는 정규화(normalizing) 라는 과정을 통해 구한다.
\[u = \frac{1}{\lVert v \rVert} v\]표준 단위벡터
\(R^{2}\), \(R^{3}\) 의 직교 좌표계에서 양의 좌표축상의 단위벡터를 뜻한다.
\(R^{2}\) 에서는 \(\hat{i} = (1, 0), \hat{j} = (0, 1)\), \(R^{3}\) 에서는 \(\hat{i} = (1, 0, 0), \hat{j} = (0, 1, 0), \hat{k} = (0, 0, 1)\) 로 표기한다.
벡터공간에서의 거리
\(R^{n}\) 에서 두 벡터의 거리는 \(d(u, v) = \lVert u - v \rVert = \sqrt{(u_1 - v_1)^{2} + (u_2 - v_2)^{2} + \cdots + (u_n - v_n)^{2}}\) 이다.
점곱
점곱은 두 벡터늬 크기와 두 벡터의 각의 코사인값의 곱이다. 계산 식은 다음과 같다.
\[u \cdot v = \lVert u \rVert \lVert v \rVert cos\theta\]u와 v의 놈이 0이 아니라면 \(cos\theta = \frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert}\) 와 같은 식도 성립한다.
점곱의 결과값에 따라 \(u \cdot v > 0\) 이면 예각, \(u \cdot v < 0\) 둔각, \(u \cdot v = 0\) 직각이다.
점곱의 성분형
점곱은 \(u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3\) 로 구할 수 있다.
점곱의 대수적 성질
\(u = v\) 일때, \(u \cdot u = u_1^{2} + u_2^{2} + \cdots + u_n^{2} = \lVert u \rVert^2\) 을 만족한다.
또한 다음 대수적 성질들을 가진다.
- \[0 \cdot v = v \cdot 0 = 0\]
- \[u \cdot v = v \cdot u\]
- \[u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w\]
- \[k (u \cdot v) = (ku) \cdot v\]
- \[v \cdot v \geq 0, v \cdot v = 0, v = 0\]
점곱에서의 코시-슈바르츠 부등식
\(cos\theta = \frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert}\) 식을 이용하여 \(\theta = cos^{-1}(\frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert})\) 을 유도할 수 있다. 이때 위 식이 성립하려면 \(-1 \leq \frac{u \cdot v}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert} \leq 1\) 이 성립해야 한다. 그래서 위 부등식은 코시-슈바르츠 부등식에 의해 \(\left | u \cdot v \right | \leq \lVert u \rVert \lVert v \rVert\) 성립한다.