Matrix Transformation
행렬변환(matrix transformatioin)은 어떤 행렬을 다른 행렬로 변환하는것을 말한다.
\[w_{1} = a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n}\\ w_{2} = a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n}\\ \vdots \\ w_{m} = a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n}\]위와같은 식은 \(w = Ax\)로 표기한다. \(R^{n}\)(정의역)에 속한 백터 \(x\)를 \(R^{m}\)(공역)에 속한 백터 \(w\)로 변환한다는 뜻이다. 이때 \(n = m\) 이라면 행렬 연산자(matrix operator)라고도 부른다.
그밖에 \(T_{A} : R^{n} \rightarrow R^{m}\), \(w=T_{A}(x)\), \(x \xrightarrow[]{T_{A}} w\)라고도 표현 가능하다.
성질
모든 행렬변환 \(T_{A} : R^{n} \rightarrow R^{m}\)은 모든 백터 \(u, v\)와 스칼라 \(k\)에 대해 다음 성질을 만족한다.
- \(T_{A}(0) = 0\) - 0백터
- \(T_{A}(ku) = kT_{A}(u)\) - 동질성
- \(T_{A}(u + v) = T_{A}(u) + T_{A}(v)\) - 합의 성질
- \(T_{A}(u - v) = T_{A}(u) - T_{A}(v)\) -
이중 2번과 3번 성질을 선형성 조건(linearity confition)이라고 하고, 이 조건을 만족하는 변환을 선형변환(linear transformation)이라고 한다. 그러므로 모든 선형변환은 행렬변환이고, 행렬변환은 선형변환이다.
\[T_{A} : R^{n} \rightarrow R^{m}, T_{B} : R^{n} \rightarrow R^{m} \\ T_{A}(x) = T_{B}(x), A=B\]위 정리에 따라 행렬변환은 정확하게 하나의 행렬을 생성함을 알 수 있다. 이러한 행렬은 표준행렬(standard matrix)라고 한다.
표준행렬
표준행렬을 구하는 방법은 다음 예제와 같다.
\[T: R^{2} \rightarrow R^{3} \\ T \left ( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 2x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - 3x_{2} \\ -x_{1} + x_{2} \end{bmatrix} \\ T(e_{1}) = T \left ( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, T(e_{2}) = T \left ( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right ) = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ A = \left[ \begin{array}{c|c} T(e_{1}) & T(e_{2}) \\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \\ A \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_{1} + x_{2} \\ x_{1} - 3x_{2} \\ -x_{1} + x_{2} \end{bmatrix}\]행렬변환 합성
행렬변환 후 다른 행렬변환하는 과정을 뜻한다. 함수의 합성을 생각하면 이해가 쉽다. \(T_{A}: R^{n} \rightarrow R^{k}\) 이고, \(T_{B}: R^{k} \rightarrow R^{m}\) 일때, 두 행렬변환의 합성은 \(T_{B}(T_{A}(x))\) 또는 \(T_{B} \circ T_{A} = T_{BA}\) 라고 표현하고, \(T_{A}\)와 \(T_{B}\)의 합성이라고 한다.
행렬변환의 교환
일반적으로 행렬변환은 교환이 성립되지 않는다. 하지만 예외적으로 회전의 합성은 교환이 가능하다.
행렬변환의 역
\(T_{A}: R^{n} \rightarrow R^{k}\)의 표준행렬 \($A\)가 가역이라면 \(T_{A}\)도 가역이고, \(T_{A}\)의 역이 존재한다. 이때 \(T_{A}^{-1}=T_{A^{-1}}\)가 성립한다. 그러므로 \(T_{A}^{-1} \circ T_{A} = T_{A^{-1}} \circ T_{A} = T_{A^{-1}A} = T_{I}\)가 성립한다.