선형독립, 선형종속
집합 \(S = \left\{ v_1, v_2, \cdots v_r \right\}\)이 벡터공간 \(V\)의 두개 이상의 벡터 집합이고, \(S\)의 어떤 벡터도 다른 벡터드의 선형결합으로 표현이 불가능하면 선형독립집합(linearly independent set)이라고 하고, 아니라면 선형종속집합(linearly dependent set)이라고 한다.
선형독립 판단
벡터공간 \(V\)의 공집합이 아닌 집합 \(S\)가 선형독립이기 위한 필요충분조건은 \(k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r = 0\)을 만족하는 계수가 모두 0인것이다.
아래 두 정리는 선형독립 판단에 유용한 정보이다.
- 영벡터를 포함하는 유한집합은 선형종속이다.
- 두 벡터만 갖는 집합이 선형독립이기 위한 필요충분조건은 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배가 아닌것이다.
예제
\(R^3\) 내의 선형종속
\(v_1 = (1,-2,3), v_2 = (5,6,-1), v_3 = (3,2,1)\)이 \(R^3\) 내에서 선형 독립인지 판단하는 문제.
\(k_1 v_1 + k_2 v_2 + k_3 v_3 = 0\)가 비자명해를 가지는지 확인하여 선형종속 여부를 확인한다.
\(k_1 (1,-2,3) + k_2 (5,6,-1) + k_3(3,2,1) = (0,0,0)\)
\(\textrm{det} (A) =
\textrm{det} \left ( \begin{bmatrix}
1 & 5 & 3 \\
-2 & 6 & 2 \\
3 & -1 & 1 \\
\end{bmatrix} \right ) = 0\)
그러므로 백터들은 선형종속이다.
선형독립의 기하학적 해석
- \(R^2, R^3\)애서 두 벡터가 선형독립일때, 원점에 위치해 있을때 동일한 직선/평면 위에 있지 않다.
- \(S = \left\{ v_1, v_2, \cdots, v_r \right\}\)이 \(R^n\)상의 벡터일때, \(r \gt n\)이면 선형종속이다.