inverse matrix와 연립일차방정식 관계
행렬 A가 정방행렬이면서 invertable 하다면 연립방정식 \(Ax=b\)는 \(x = A^{-1}b\)가 성립한다.
예제
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{bmatrix}\]1. \(A^{-1}\) 구하기
\[\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 6 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & -15 & -5 & 0 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 16 & -12 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right] \\ \left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -24 & 18 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 20 & -15 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -5 & 4 & 1 \end{array} \right] \\ A^{-1} = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\]2. \(x\) 구하기
\[A^{-1}b = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 64 \\ -53 \\ 15 \end{bmatrix}\]역행렬 성질
동등정리
이전 [선형대수] 역행렬과 행렬 성질에서 정리한 동등정리에 두 가지 명제가 더 추가될 수 있다.
- A는 가역이다.
- \(Ax= 0\)은 trivial solution(자명해)만을 갖는다.
- \(A\)의 reduced row echelon form은 \(I_{n}\)이다.
- \(A\)는 elementart matrix들의 곱으로 나타낼 수 있다.
- \(Ax=b\)는 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대해서 일치한다.
- \(Ax=b\)는 모든 \(n \times 1\) 행렬 \(b\)에 대해 유일한 해를 갖는다.
정방행렬의 곱과 가역
행렬 \(A\)와 \(B\)가 크기가 같은 정방행렬일 때, \(AB\)가 가역이면 행렬 \(A\)와 \(B\)도 가역이다.
행렬이 정방행렬이나 가역이 아닐때 해 구하기
예제
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 11 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}, b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & b_{1} \\ 2 & 5 & 11 & b_{2} \\ 2 & 3 & 1 & b_{3} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & b_{1} \\ 2 & 3 & 1 & b_{3} \\ 0 & 1 & 5 & -2b_{1} + b_{2} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & b_{1} \\ 0 & -1 & -5 & -2b_{1} + b_{3} \\ 0 & 1 & 5 & -2b_{1} + b_{2} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & b_{1} \\ 0 & 1 & 5 & -2b_{1} + b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & -4b_{1} + b_{3} + b_{2} \end{bmatrix}\]이때 \(-4b_{1} + b_{3} + b_{2} = 0\)이므로 \(b_{3} = 4b_{1} + b_{2}\)가 성립한다. 그러므로 이 연립방정식이 해를 갖기 위한 조건은 다음과 같다.
\[b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ 4b_{1} + b_{2} \end{bmatrix}\]