[선형대수] 역행렬과 행렬 성질

Unit Matrix

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}$$

main diagonal(주대각성분) 원소들이 모두 1이고 나머지 원소가 모두 0이면 unit matirx(단위 행렬) 또는 identity matrix(항등 행렬)라고 한다. 표기는 $\mathit{I}$, 크기와 함께 표기할 땐 $\mathit{I}_n$으로 표기한다.

$$\mathit{I}_2A = \begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{21}&a_{23}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{21}&a_{23}\\ \end{bmatrix} \end{equation} = A$$

identity matrix는 다른 행렬을 곱하면 그 행렬이 결과값으로 나온다. 실수 연산의 1과 같은 역할.

Inverse Matrix

정방행렬 A와 B가 $AB = BA = \mathit{I}$ 를 만족할 때, A는 invertable(가역) 또는 nonsingular(정칙)이라 하고, B는 A의 inverse matrix(역행렬)이라고 한다. 이때 A의 역행렬은 $A^{-1}$로 표기한다. A에 대한 B가 존재하지 않는다면 A는 singular matirx(특이 행렬)이라고 한다.

어떤 행렬에 대한 역행렬은 유일하다.

성질 1

$$A = \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}\\ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}$$

위 예제에서 행렬 A가 invertable인지 확인하는 방법은 $ad - bc \neq 0$ 이다.

성질 2

A와 B가 크기가 같은 invertable matrix 라면 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 이다.

행렬 거듭제곱

A가 정방행렬일 때, $A^{0} = \mathit{I}, A^{n} = AAA \cdots A$
A가 가역일 때, $A^{-n} = (A^{-1})^{n} = A^{-1}A^{-1}A^{-1} \cdots A^{-1}$
지수가 음이 아닐 떄, $A^{r}A^{s} = A^{r + s}, (A^{r})^{s} = A^{rs}$

지수가 음일 때, A가 가역, n이 양수

• $A^{-1}$ 도 가역, $(A^{-1})^{-1} = A$
• $A^{n}$ 도 가역, $(A^{n})^{-1} = A^{-n} = (A^{-1})^{n}$
• 0이 아닌 스칼라 k에 대해서 $kA$ 도 가역, $(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$

행렬 다항식

$$p(x) = a_{0}x^{0} + a_{1}x^{1} + \cdots + a_{n}x^{n}$$

정방행렬 A를 대입하면

$$p(A) = a_{0}A^{0} + a_{1}A^{1} + \cdots + a_{n}A^{n} = a_{0}\mathit{I} + a_{1}A^{1} + \cdots + a_{n}A^{n}$$

전치행렬

행렬 A가 가역이면 $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$