\(R^2\)와 \(R^3\)에서의 직선의 백터방정식과 매개방정식
한 점 \(x_0\)와 직선에 평행한 0이 아닌 벡터 \(v\)가 있을때, 직선 위의 한 점 \(x\)와 \(x_0\)를 이용해 \(x - x_0\)로 벡터 \(v\)에 평행한 벡터를 만들 수 있다. 그러므로 \(x - x_0 = tv\)가 성립한다. 이는 \(x_0\)를 지나며 \(v\)에 평행한 직선을 의미한다. 만약 \(x_0\)가 원점을 지난다면 직선은 원점을 지나고, \(x = tv\)가 성립한다.
\(R^3\)에서의 평면의 백터방정식과 매개방정식
한 점 \(x_0\)에서 출발하며 동일 선상에 있지 않은 0이 아닌 벡터 \(v_1, v_2\)가 있다. 이때 각 벡터에 스칼라를 곱하여 더하면 \(t_1 v_1 + t_2 v_2\) 로 평행사변형을 만들 수 있고, 직선 위의 한 점 \(x\)와 \(x_0\)를 이용해 \(x - x_0\)로 평행사변형의 대각선 벡터를 만들 수 있다. 그러므로 \(x - x_0 = t_1 v_1 + t_2 v_2\)가 성립한다. 이는 \(x_0\)를 지나며 \(v_1, v_2\)에 평행한 평면을 의미한다. 만약 \(x_0\)가 원점을 지난다면 평면은 원점을 지나고, \(x = t_1 v_1 + t_2 v_2\)가 성립한다.
\(R^n\)에서 두 점을 지나는 직선
\(x_0, x_1\)이 \(R^n\)의 한 점을 지나면 이 둘을 지나는 직선은 \(x_1 - x_0\) = v에 평등하다. 이를 두 점 벡터방정식 이라고 한다.