Row Echelon Form
예제
\[\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 10 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 10 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\]조건
- 행렬의 행벡터에서 맨 처음 0이 아닌 수는 1이어야 함. 이를 Leading 1이라고 함.
- 모든 원소가 영인 행은 맨 아래에 있어야 함.
- 0이 아닌 벡터가 연속해서 존재할 때, 아래행의 Leading 1은 위 행 보다 오른쪽에 있어야 함.
Reduced Row Echelon Form
예제
\[\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\]조건
Row Echelon Form의 조건에서 한 조건이 추가된다.
- 행렬의 행벡터에서 맨 처음 0이 아닌 수는 1이어야 함. 이를 Leading 1이라고 함.
- 모든 원소가 영인 행은 맨 아래에 있어야 함.
- 0이 아닌 벡터가 연속해서 존재할 때, 아래행의 Leading 1은 위 행 보다 오른쪽에 있어야 함.
- Leading 1이 있는 열의 나머지 성분은 모두 0 이어야 함.
Row Echelon Form 특징
- 모든 행렬은 유일한 Reduced Row Echelon Form이 존재함.
- Row Echelon Form은 연산 순서에 따라 다르게 나올 수 있음.
- 한 행렬의 Row Echelon Form은 유일하지 않지만, Leading 1은 항상 같은 위치에 존재함. Leading 1이 나타나는 자리를 pivot position(축 위치)라고 하고, 축이 존재하는 행을 pivot row, 축이 존재하는 열을 pivot column이라고 함.
Gaussian Elimination
행렬의 기본 행 연산을 이용하여 Row Echelon Form을 구하는 연산.
예제
\[\begin{equation} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 6 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\]위 행렬을 Gaussian Elimination을 적용해 Row Echelon Form을 구하는 과정이다.
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1행과 2행 교체
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
1행에 2행 빼기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 4 & 6 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
2행에 2를 곱한 1행 빼기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \\ 4 & 6 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
3행에 4를 곱한 1행 빼기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 10 & -3 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
3행에 2를 곱한 2행 빼기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
2행에 5 나누기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{-1}{5} \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
3행에 -1 곱하기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{-1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\)
Gauss-Jordan Elimination
행렬의 기본 행 연산을 이용하여 Reduced Row Echelon Form을 구하는 연산. Gaussian Elimination이 선행된 후 진행된다.
예제
위 예제 결과에서 이어서 작성된다.
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1행에 2행 더하기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & \frac{-1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
1행에 \(\frac{-4}{5}\)를 곱한 3행 더하기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{-1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\) -
2행에 \(\frac{1}{5}\)를 곱한 3행 더하기
\(\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{equation}\)
Homogeneous Equation
\[a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0 \\\]Homogeneous Equation(동차 방정식)은 상수항이 모두 0인 방정식을 뜻한다. 모든 상수항이 0이므로 모든 해는 0이다. 이를 trivial solution(자명해)라고 한다. 0 이외에 다른 해가 있다면 nontrivial solution이라고 한다.
nontirivial solution을 갖는 경우
homoneneous equation이 nontrivial solution을 가지는 경우는 두 가지가 있다.
- 모든 방정식이 완벽히 같을 경우
방정식이 같아서 일치하게 되면 0 이외에 다른 해가 무수히 많다. - 방정식보다 미지수 개수가 많을 경우
방정식보다 미지수가 많으면 Row Echelon Form으로 표현해도 leading 1이 나타나지 않는 미지수가 있다. 이는 free value(자유 변수)로 표현된다.