Elementary Matrix
\[\mathit{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , \mathit{E} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\]unit matrix(단위 행렬)에서 기본 행연산을 한 번만 수행한 행렬. \(\mathit{E}\) 와 \(\mathit{I}\) 는 기본 행연산을 통해 변환이 가능하므로 row equivalent(행동등)이라고 한다.
\[2행에 3을 곱한 뒤 \frac{1}{3} 곱하기 \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\]단위행렬을 기본 행연산을 통해 기본행렬을 얻고, 다시 단위 행렬로 바꿀 때, 이를 inverse operation(역연산)라고 한다. 모든 기본행렬과 기본행렬의 역은 invertable(가역)이다.
동등 정리
\(A\)가 정방 행렬일 때, 아래 명제들은 전부 참이거나 거짓이다.
- A는 가역이다.
- \(Ax= 0\)은 trivial solution(자명해)만을 갖는다.
- \(A\)의 reduced row echelon form은 \(I_{n}\)이다.
- \(A\)는 elementart matrix들의 곱으로 나타낼 수 있다.
역행렬 구하기
행렬 \(A\)의 reducde row echelon form이 \(I_{n}\)이라고 할 때, \(A\)에 기본행렬 연산을 통해 \(I_{n}\) 구하는 식은 다음과 같다.
\[E_{k} \cdots E_{2}E_{1}A = I_{n}\]이때 \(A\)의 역행렬인 \(A^{-1}\)을 양변에 곱하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
\[E_{k} \cdots E_{2}E_{1}AA^{-1} = I_{n}A^{-1} \\ E_{k} \cdots E_{2}E_{1}I_{n} = A^{-1}\]그러므로 \(A\)를 \(I_{n}\)으로 만들기 위한 연산이 \(I_{n}\)에서 \(A^{-1}\)로 만드는 연산에도 동일하게 적용됨을 알 수 있다.