Diagonal Matrix
\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\]Diagonal Matrix(대각행렬)은 main diagonal(주대각)원소 외에 모든 원소가 0인 행렬을 뜻한다.
\[D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} \end{bmatrix} \\ D^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{d_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{d_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{d_{33}} \end{bmatrix}\]대각행렬의 역행렬은 위와 같다.
Triangular Matrix
\[\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 4 & 5 & 1 \end{bmatrix}\]Tirangular Matrix(삼각행렬)은 주대각선을 기준으로 위나 아래가 모두 0인 함수를 뜻한다. 주대각선 기준으로 위쪽이 모두 0인 행렬을 Lower Tirangular Matrix(하삼각행렬), 아래쪽이 모두 0인 행렬을 Upper Tirangular Matrix(상삼각행렬)라고 한다. 두 행렬 모두 Tirangular Matrix(삼각행렬)이다.
성질
- 하삼각행렬의 전치는 상삼각행렬이고, 상삼각행렬의 전치는 하삼각행렬이다.
- 하삼각행렬의 곱은 하삼각행렬이고, 상삼각행렬의 곱은 상삼각행렬이다.
- 삼각행렬이 invertable하다먄 주대각 원소 모두 0이 아니다.
- invertable한 상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행렬이고, 이는 하삼각행렬도 같다.
Symmetric Matrix
\[A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}, A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 3 & 5 & 2 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}\]Symmetric Matrix(대칭행렬)은 전치한 행렬과 원래 행렬이 같은 행렬이다. 대칭행렬 \(A\)가 가역이면 \(A^{-1}\), \(AA^{T}\), \(A^{T}A\)도 가역이다.