행렬식
앞에서 배웠던 행렬식에 대해 복습해보자.
\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]위 행렬\(A\)가 invertable하기 위한 필요충분 조건은 \(ad - bc \neq 0\)이다. 행렬식은 \(det(A) = ad - bc\) 또는 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) 로 표기한다. 또한 \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) 로 행렬 \(A\)의 역행렬을 구할 수 있다.
여인수와 행렬식
소행렬식과 여인수
\[A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]행렬 \(A\)가 정방행렬이라면 행렬의 i번째 행과 j번째 열을 제거해서 소행렬식을 만들 수 있다. 소행렬식은 \(M_{ij}\)로 표기한다. 위 행렬 \(A\)의 \(M_{12}\)를 구하면 다음과 같다.
\[M_{12} = \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} = bi - ch\]여인수는 \(M_{ij}\)에 \((-1)^{i + j}\)를 곱한 값이다. \(C_{ij}\)로 표기한다. 위 소행렬식 \(M_{12}\)를 이용해 여인수를 구하면 다음과 같다.
\[C_{12} = (-1)^{i + j}M_{ij} = -(bi - ch)\]여인수 전개
여인수 전개를 이용해 행렬식을 구할 수 있다.
\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \\ det(a) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \\ a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} =\\ a_{11}C_{11} + a_{21}C_{22} =\\ a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} =\\ a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22}\]이처럼 여인수 전개는 행과 열을 선택하여 전개가 가능하다. 그래서 여인수 전개를 할 때는 0을 가장 많이 포함하고있는 행과열을 선택하는게 계산하기 편하다.
행렬식 특성
- 행렬 \(A\)가 정방행렬이며 영행 또는 영열을 가지면 \(det(A) = 0\)이다.
- 행렬 \(A\)가 정방행렬이라면 \(det(A) = det(A^{T})\) 이다.
기본 행연산
행렬 \(A\)를 정방행렬이라고 가정한다.
\[\begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\]- 행렬 \(B\)가 행렬 \(A\)에 한 행/열에 스칼라 \(k\)를 곱해서 얻어진 행렬이라면 \(det(B) = kdet(A)\)이다.
- 행렬 \(B\)가 행렬 \(A\)에 두 행/열을 교환해서 얻어진 행렬이라면 \(det(B) = -det(A)\)이다.
- 행렬 \(B\)가 행렬 \(A\)에 한 행/열에 스칼라 \(k\)를 곱한 후 다른 행/열을 더해서 얻어진 행렬이라면 \(det(B) = det(A)\)이다.
- 행렬 \(A\)가 비례하는 행을 가진 행렬이라면 \(det(A) = 0\)이다.
기본행렬
행렬 \(E\)를 정방행렬이라고 가정한다.
\[\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = k\]- 행렬 \(E\)가 행렬 \(I_{n}\)에 한 행에 0이 아닌 스칼라 \(k\)를 곱해서 얻어진 행렬이라면 \(det(E) = k\)이다.
- 행렬 \(E\)가 행렬 \(I_{n}\)의 두 행/열을 교환해서 얻어진 행렬이라면 \(det(E) = -1\)이다.
- 행렬 \(E\)가 행렬 \(I_{n}\)의 한 행의 배수를 다른 행에 더해서 얻어진 행렬이라면 \(det(E) = 1\)이다.
행 축소에 의한 행렬식 계산
기본 행연산을 이용하여 행렬식 계산 과정을 단축시킬 수 있다.
\[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 5 \\ 3 & -6 & 9 \\ 2 & 6 & 1 \end{bmatrix}\] \[det(A) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 5 \\ 3 & -6 & 9 \\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \\ = 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \\ = -3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 1 \end{vmatrix} \\ = -3 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 10 & -5 \end{vmatrix} \\ = -15 \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} \\ = -15 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 165\]행렬식 기본 성질
행렬 \(A\)와 \(B\)가 \(n \times n\)이고, \(k\)가 스칼라일때 다음 성질이 성립한다.
\[det(kA) = k^{n}det(A)\]또한 다음과 같은 특수한 경우에 성립하는 성질도 있다.
\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \\ det(A) + det(B) = det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}\]두 행렬이 크기가 같은 정방행렬이면 다음 곱셈도 성립한다.
\[det(CD) = det(C)det(D)\]딸림행렬
여인수 행렬의 전치행렬을 딸림행렬이라고 한다. \(adj(A)\)로 표기한다.
\[A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 2 & -4 & 0 \end{bmatrix}\]위 행렬의 여인수행렬은 다음과 같다.
\[A = \begin{bmatrix} 12 & 6 & -16 \\ 4 & 2 & 16 \\ 12 & -10 & 16 \end{bmatrix}\]딸림행렬은 다음과 같다.
\[A = \begin{bmatrix} 12 & 4 & 12 \\ 6 & 2 & -10 \\ -16 & 16 & 16 \end{bmatrix}\]딸림행렬로 역행렬 구하기
\(n \times n\) 행렬 중 가역행렬은 딸림행렬을 이용하여 역행렬을 구할 수 있다.
\[A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)\]크라머 규칙
\(n \times n\) 행렬 A가 가역이라면 \(Ax = b\)의 해를 크라머 규칙을 이용해 구할 수 있다.
\[Ax = b \\ x_{1} = \frac{det(A_{1})}{det(A)}, x_{2} = \frac{det(A_{2})}{det(A)}, \dots, x_{n} = \frac{det(A_{n})}{det(A)}\]이때 \(A_{j}\)는 A의 \(j\)열의 원소를 \(b\)로 대체한 행렬이다.