[선형대수] 외적

벡터의 외적

\(u = (u_1, u_2, u_3), v = (v_1, v_2, v_3)\) 일때, 외적은 다음과 같이 표현된다.

\[u \times v = (u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1) \\ = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \\ \end{vmatrix}, & - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \\ \end{vmatrix}, & \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\ \end{vmatrix} \end{pmatrix}\]

외적과 점곱이 포함된 관계

\(u, v, w\) 모두 3차원 공간의 벡터일떄, 다음 식이 성립한다.

1. \(u \cdot (u \times v) = 0\), \((u \times v)\)는 \(u\)에 직교한다.
2. \(v \cdot (u \times v) = 0\), \((u \times v)\)는 \(v\)에 직교한다.
3. \(\left\| u \times v \right\|^2 = \left\| u \right\|^2 \left\| v \right\|^2 - (u \cdot v)^2\), 라그랑주 항등식
4. \(u \times (v \times w) = (u \cdot w)v - (u \cdot v)w\), 벡터 삼중곱
5. \((u \times v) \times w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u\), 벡터 삼중곱

외적의 성질

\(u, v, w\) 모두 3차원 공간의 벡터이고, \(k\)가 스칼라일떄, 다음 식이 성립한다.

1. \[u \times v = - (v \times u)\]
2. \[u \times (v + w) = - (u \times v) + (u \times w)\]
3. \[(u + v) \times w = - (u \times w) + (v \times w)\]
4. \[k(u \times v) = (ku) \times v = u \times (kv)\]
5. \[u \times 0 = 0 \times u = 0\]
6. \[u \times u = 0\]

외적의 행렬식 형태

외적은 다음과 같이 기호로 나타낼 수 있다.

\[u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \\ \end{vmatrix} i - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \\ \end{vmatrix} j + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\ \end{vmatrix} k\]